User:ClemRutter/Sandbox

From Wikipedia, the free encyclopedia

**Printer troubleshooter**
		Rules
Conditions	The author is known	Y	Y	Y	Y	N	N	N	N
	The work was created before 1.1.1969	Y	Y	N	N	Y	Y	N	N
	Its a literary dramatic musical work photograph or engraving from before 1.2.1989	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
	Its a photograph taken before 1.6.1957	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
	It was published before 1.8.1989	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
	The author died more than 20 years before publication.	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
	The author died before 1.8.1989	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
	The work has been made available to the public	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
	It was made available to the public before 1.1.1969	Y	N	Y	N	Y	N	Y	N
Actions	Copyright expires 31.12.2039			X
	Copyright expires 70 years after publication.	X		X
	Copyright expires 70 years after first made available to public.	X		X
	Copyright expires 70 years after death of author.	X		X
	Copyright expires 70 years after creation, or 70 years after being made public is this was within 70 years of creation.	X		X		X		X
	Check/replace ink	X	X			X	X
	Check for paper jam		X		X

Of course, this is just a simple example (and it does not necessarily correspond to the reality of printer troubleshooting), but even so, it demonstrates how decision tables can scale to several conditions with many possibilities.

The Helmert-Transformation (named after Friedrich Robert Helmert, 1843-1917; also called: 7-Parameter-Transformation) is a coordinate transformation within 3 dimensional space. It is frequently used in Geodesy to produce distortion free transformation from one datum to another using:

$X T = C + μ R X$

$X T$ ... The transformed vector
$X$ ... Exit vector

The Parameters are:

$C$ ... Translation vector. Enthält die drei Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen
$μ$ ... Scale factor
$R$ ... Rotation matrix. Besteht on three axes (geringfügige Drehungen um die Koordinatenachsen) r_x, r_y, r_z. The Rotation matrix is an Orthogonal matrix

Damit ist die Helmert-Transformation eine Ähnlichkeitstransformation. Sie ist eine Spezialisierung der Galilei-Transformationen, zu denen unter anderem Affine- und projektive Transformationen gehören; letztere verzerren allerdings die Streckenlängen.

1 Calculating the Parameters
2 Two dimensional case
3 Application
4 Standard parameters
5 Restrictions
6 References
7 See Also
8 Weblinks
9 Thames and Medway Canal
10 Footpath Icons

[edit] Calculating the Parameters

Wenn die Transformationsparameter unbekannt sind, können sie über idente Punkte (also Punkte, deren Koordinaten vor und nach der Transformation bekannt sind) berechnet werden. Da insgesamt 7 Parameter (3 translation, 1 scale, 3 rotation) zu bestimmen sind, müssen zumindest 2 Punkte und von einem 3. Punkt eine Koordinate (z. B. die z-Koordinate) bekannt sein. Damit entsteht ein Gleichungssystem mit sieben Gleichungen und ebensovielen Unbekannten, das gelöst werden kann.

In der Praxis wird man bestrebt sein, mehr Punkte zu verwenden. Durch diese Überbestimmung erhält man erstens eine Kontrolle über die Richtigkeit der verwendeten Punkte und zweitens die Möglichkeit einer statistischen Beurteilung des Ergebnisses. Die Berechnung erfolgt in diesem Fall mit einer Ausgleichung nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate.

Um numerisch günstige Werte für die Berechnung der Transformationsparameter zu erhalten, werden die Berechnungen mit Koordinatendifferenzen, bezogen auf den Schwerpunkt der gegebenen Punkte, durchgeführt.

[edit] Two dimensional case

A special case is the two dimensionale Helmert-Transformation. Here, only four parameters are needed. (2 translations, 1 scaling, 1 rotation) these can be determined from two known points; if more points are available then checks can be made.

[edit] Application

Die Helmerttransformation wird unter anderem in der Geodäsie angewendet, um Koordinaten der Punkte von einem Koordinatensystem in ein anderes zu transformieren. Damit ist z. B. die Umrechnung von Punkten der regionalen Landesvermessung in das für GPS-Ortungen benutzte WGS84 möglich.

Dabei werden die Gauß-Krüger-Koordinaten x,y plus der Höhe H schrittweise in 3D-Werte umgerechnet:

Berechnung der ellipsoidischen Breite, Länge und Höhe (B, L, H)
Berechnung von X, Y, Z bezüglich des Referenzellipsoides der Landesvermessung
7-Parameter-Transformation (wodurch sich X, Y, Z fast gleichmäßig um maximal einige hundert Meter ändern und die Strecken um einige mm pro km).
Dadurch werden terrestrisch vermessene Positionen mit GPS-Daten vergleichbar; letztere können - in umgekehrter Reihenfolge transformiert - als neue Punkte in die Landesvermessung eingebracht werden.

Der 3. Schritt besteht in der Anwendung einer Drehmatrix, einer Multiplikation mit dem Maßstabsfaktor $μ = 1 + s$ (nahe beim Wert 1) und einer Addition der 3 Verschiebungen dX, dY, dZ.

Die Koordinaten eines Referenzsystems B werden durch folgende Formel aus dem Referenzsystem A hergeleitet:

$\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}^B=\begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1+s&-r_z&r_y\\r_z&1+s&-r_x\\-r_y&r_x&1+s\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}^A$

or for each single parameter of the coordinate:

$\begin{matrix} X_B=c_x+(1+s)\cdot X_A-r_z\cdot Y_A+r_y\cdot Z_A\\ Y_B=c_y+r_z\cdot X_A+(1+s)\cdot Y_A-r_x\cdot Z_A\\ Z_B=c_z-r_y\cdot X_A+r_x\cdot Y_A+(1+s)\cdot Z_A\\ \end{matrix}$

For the reverse transformation, each element is multiplied by -1.

Die 7 Parameter werden für die jeweilige Region (Vermessungseparat, Bundesland etc.) mit 3 oder mehr "identischen Punkten" beider Systeme bestimmt. Bei Überbestimmung werden die kleinen Widersprüche (meist nur einige cm) durch Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen - das heißt, auf die statistisch plausibelste Weise beseitigt.

[edit] Standard parameters

Gebiet	Startsystem	Zielsystem	c_x (Meter)	c_y (Meter)	c_z (Meter)	s (ppm)	r_x (Arcsecond)	r_y (Arcsecond)	r_z (Arcsecond)
England, Scotland, Wales	WGS84	OSGB36	-446,448	125,157	-542,06	20,4894	-0,1502	-0,247	-0,8421
Ireland	WGS84	Ireland 1965	-482,53	130,596	-564,557	-8,15	1,042	0,214	0,631
Germany	WGS84	DHDN	-591,28	-81,35	-396,39	-9,82	1,4770	-0,0736	-1,4580
Germany	WGS84	Bessel 1841	-582	-105	-414	-8,3	-1,04	-0,35	3,08
Germany	WGS84	Krassovski 1940	-24	123	94	-1,1	-0,02	0,26	0,13
Austria (BEV)	WGS84	MGI	-577,326	-90,129	-463,920	-2,423	5,137	1,474	5,297
USA	WGS84	Clarke 1866	8	-160	-176	0	0	0	0

Bei den Beispielen handelt es sich um Standardparametersätze für die 7-Parameter-Transformation (oder: Datumstransformation) zwischen zwei Ellipsoiden. Für die Transformation in der Gegenrichtung muss bei allen Parametern das Vorzeichen geändert werden. Die Drehwinkel x, y und z werden manchmal auch als κ, φ und ω bezeichnet. Die Datumstransformation von WGS84 nach Bessel ist insofern interessant, als sich die GPS-Technologie auf den WGS84-Ellipsoiden bezieht, das in Deutschland verbreitete Gauß-Krüger-Koordinatensystem in der Regel jedoch auf den Ellipsoiden nach Bessel.

Da die Erde keine perfekte Ellipsoid-Form hat, sondern als Geoid beschrieben wird, genügt für eine Datumstransformation mit Vermessungsgenauigkeit der Standardparametersatz nicht. Die Geoidform der Erde wird stattdessen durch eine Vielzahl von Ellipsoiden beschrieben. Je nach tatsächlichem Standort werden die Parameter des "lokal bestangleichenden Ellipsoiden" verwendet. Diese Werte können stark von den Standardwerten abweichen, führen jedoch in der Transformationsrechnung in der Regel nur zu Änderungen des Ergebnisses im Zentimeterbereich.