User:PegasusRoe/兩平面向量所夾面積

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假設我們要計算由

\vec{u}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} 與 \vec{v}=\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}

所圍成的平行四邊形面積（有向面積），我們可以選擇將 \vec{v} 分解成：

\vec{v}=\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}

並計算出 y 的大小，這樣我們就可以利用「底×高」算出平行四邊形的面積。

[edit] 計算 y

如果我們將

\vec{v} 與 \begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}

作內積，則我們可以得到：

\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}=\left(x\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}\right)\cdot\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}
ad-bc=y\left(a^2+b^2\right)

如果我們假設：

r=\sqrt{a^2+b^2}

則：

y=\frac{\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}{r^2}

（注意：y 有正負號）

[edit] 計算有向面積

利用「底×高」，我們可以得到：

r \cdot yr = y r^2 = \begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}